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关于编程珠玑中习题2.3的一点思考

作者: HappyAngel  来源: 博客园  发布时间: 2011-01-27 10:46  阅读: 1048 次  推荐: 2   原文链接   [收藏]  

    这两天看到编程珠玑第二章,关于习题2.3中说到杂耍算法执行gcdi,n)次后即可停止,这里我想了很久为什么?书中提到的Swap Sections解决了我的疑惑,在明白为什么的时候真的 “啊哈”了一下,原来这样,感觉证明非常巧妙,不敢独享,所以复述如下。 

  problem:

  rotate a one-dimensional vector of n elements left by i positions. For instance, with n=8 and i=3, the vector abcdefgh is rotated to defghabc.

  这个问题可以有三个巧妙的算法来解决(关于这三个算法的代码,我自己实现了一下,附在文后),这在Swap Sections都提到了,包括神奇的反转算法、递归交换算法以及下面这个杂耍算法: 

  one solution is:

  move x[0] to the temporary t, then move x[i] to x[0], x[2i] to x[i], and so on, until we come back to taking an element from x[0], at which point we instead take the element from t and stop the process.

If that process didn't move all the elements , then we start over at x[1], and continue until we move all the elements.

  这个算法在执行gcdi,n)次后就停止了,为什么? 先来了解一点数论知识(一下内容摘自《初等数论》,潘承洞著): 

  1 同余:

       m不等于0, m|a-b, a-b=km, 则称m为模,a同余于bm,以及ba对模m的剩余。记作<!--[if !msEquation]--> <!--[endif]-->。

  2 同余类

       对给定的模m,有且恰有m个不同的模m的同余类,他们是

       0 mod m1 mod m,(m-1mod m

  3 完全剩余系

       一组数y1,y2,…ys称为是模m的完全剩余系,如果对任意的a有且仅有一个yja对模m的剩余,即a同余于yjm

       由此可见0,1,2m-1是一个完全剩余系。因此,如果m个数是两两不同余的,那么这m个数便是完全剩余系。

  基于以上知识,我们可以证明这样一个事实,即如果in互质的话,那么序列:

       0     i mod n  2i mod n       3i mod n       ….   (n-1)*i mod n

  就包括了集合{0,1,2 … n-1}的所有元素。(下一个元素(n)*i mod n 又是0

  为什么?

  证明:

  由于0,1,2n-1本身是一个完全剩余系,即它们两两互不同余。设此序列为Xi0<=i<=n-1),可得下式:

  Xi≠Xj (mod n),   注:这里由于不能打出不同余字符因此用不等于替代

  由于in是互质的,所以

 

  Xi*i ≠i*Xj (mod n),这里由于不能打出不同余字符因此用不等于替代,因此i*Xim个互不同余数,那么可断定它们是完全剩余系。有了上面的结论,那么如果in互质,下面的赋值过程便能完成所有值的赋值(设数组为X[0..n-1],长度为n):

       t = X[0]

       X[0] = X[i mod n]

       X[i mod n] = X[2i mod n]

       …….

       X[(n-2)*i mod n] = X[(n-1)*i mod n]

       X[ (n-1)*i mod n] = t

       因为以上操作已经把包括{0,1,…,n-1}所有元素放到了最终位置上,每次完成一个元素的放置。根据以上我们得到了一个中间结论,如果in互质,我们就可以一次完成。那么如果in不是互质的呢? 自然的想法是利用我们已经得到的结论,让in互质,即让i’ = i/(gcd(i,n))n’ = n/(gcd(i,n))。这样便构造了一对互质的数, i’n’。这意味着把整个数组的每g=gcd(i,n)个元素组成块,如下所示:

      

       这样,根据已得结论,我们可以一次获得最终答案,因为i’n’互质,由于我们的单位是块元素,所以,必须要g次来完成块的移动,每次相当于把g中的一个元素移到最终位置上。所以总共需要g次移动,算法终止。□ 整个证明过程最巧妙的地方在于对in进行处理的时候,以及处理之后转换成块元素的这个地方,感觉很巧妙,这样的证明绝对秒杀什么陪集数目的说法,回味无穷。

  三个算法的代码

1 /*
2 programming pearls: chapter2
3
4 Answer for Rotating a one-dimensional vector of n elements left by i positions.
5
6 method1: process 杂耍算法
7 method2: process2 交换算法
8 method3: process1 反转算法
9
*/
10
11 #include <iostream>
12
13 using namespace std;
14
15 const int num = 10;
16 int a[num] = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
17
18 //answer 1
19 /*
20 parameter 1: the vector to be rotated
21 par 2: the num of steps to rotate towards left
22
*/
23
24 //assume m and n are not zero
25 int gcd(int m, int n)
26 {
27 while(m != n)
28 {
29 if(m > n)
30 m -= n;
31 else
32 n -= m;
33 }
34 return m;
35 }
36
37 //jungle code, method 1
38 void process(int* a, int i)
39 {
40 int n,m;
41 for(int j=0; j < gcd(i,num); j++)
42 {
43 n = a[j];
44 for(m=j+i; m!=j; m=(m+i)%num)
45 {
46 a[(m-i+num)%num] = a[m];
47 }
48 m = (m-i+num)%num;
49 a[m] = n;
50 }
51 }
52
53
54 void reverse(int m, int n)
55 {
56 int mid = (m+n)/2;
57 int temp;
58 // int j;
59
60 for(int i=m, j=n; i <= mid; i++,j--)
61 {
62 temp = a[i];
63 a[i] = a[j];
64 a[j] = temp;
65 }
66 }
67
68 //methond 3 反转算法
69 void process1(int* a, int i)
70 {
71 reverse(0,i-1);
72 reverse(i,num-1);
73 reverse(0,num-1);
74 }
75
76
77 //method 2 交换算法
78 //swap a[i..i+m-1] with a[j..j+m-1]
79 void Swap(int*a, int i, int j, int m)
80 {
81 for(int l=0; l < m; l++)
82 {
83 int temp = a[i+l];
84 a[i+l] = a[j+l];
85 a[j+l] = temp;
86 }
87 }
88
89 //n remains the beginning of the rightmost section to be
90 // swapped. use variables i and j to denote the lengths of the
91 // sections still to be swapped.
92 //loop invariant:
93 // m n-i n n+j p-1
94 // |already swapped|swap with b[n..n+j-1]|swap with b[n-i..n-1]|already swapped|
95 void process2(int* a, int l)
96 {
97 if(l==0 || l==num)
98 {
99 return;
100 }
101
102 int n = l;
103 int j = num-l;
104 int i = l;
105 while(i != j)//当交换的两边长度相等时终止,最后再将相等的两边交换即可
106 {
107 if(i > j)
108 {
109 Swap(a,n-i,n,j);
110 i -= j;
111 }
112 else if(i < j)
113 {
114 Swap(a, n-i, n+j-i,i);
115 j -= i;
116 }
117 }
118 Swap(a,n-i,n,i);
119 }
120
121 int main()
122 {
123 process2(a,8);
124 //process1(a,9);
125
126 for(int i=0; i < num; i++)
127 cout<<a[i]<<" ";
128 cout<<endl;
129
130 int r;
131 cin>>r;
132 return 0;
133 }
2
0
标签:编程珠玑

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