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利用简单的一元线性回归分析估计软件项目开发时间

作者: EricZhang(T2噬菌体)  来源: 博客园  发布时间: 2010-07-23 13:37  阅读: 1700 次  推荐: 0   原文链接   [收藏]  

  引言

      前两天一个朋友给我打电话,问我如何估计项目开发时间。对此我很诧异,问他以前他们是怎么估计的,他说以前基本都是大家开个会,大约都说说自己意见,最后负责人一拍脑袋,给出一个时间。不过这次遇到一个非常认真的客户,要求不但要估计出项目开发时间,还要明确说明具体的依据和估算方法,这下我这朋友有点犯难,才询问我。后来我翻阅了一些数理统计和项目估算方面的资料,告诉了他利用一元线性回归分析估计软件项目开发时间的方法。想到这种估算需要在一些开发团队很常见,所以在这里整理成文。

  问题的定义及数学模型

      这里我们仅考虑比较简单的一元回归问题,即通过单一的Proxy预测项目开发时间。这里先说一下什么叫Proxy。Proxy叫做代理变量,简单来说就是估计项目开发时间的数理依据。说白了,就是我们预测开发时间,总要有个根据,例如需求中用例个数、概要设计中的实体个数、数据库中的表的数量等等。

  设Proxy为x,项目开发时间为y,那么可以得到y=f(x),学过初等数学的都可以看懂,就是说开发时间是Proxy的一个函数,如果我们既知道了新项目的x,又知道函数f,那么y就出来了。可惜天下哪有这么好的事,我们现在既不知道f,又不知道x,别说x的值了,甚至我们都不知道该用哪个Proxy做x。

      不过也不必悲观,经过上面分析,我们至少明确了我们奋斗的方向:

  • 找出候选的Proxy。
  • 选择最合适的Proxy作为x。
  • 得到x的值。
  • 确定函数f。
  • 得出y。

      下面我们一步一步解决各个问题。

  找出候选的Proxy

      虽然一个项目的特征量很多,不过可不是随便一个特征量都可以当做Proxy的。要成为Proxy,至少要满足如下四个条件。

      1)Proxy的值应该和工作量紧密相关。

      这个不用多解释了吧,就是说Proxy的值和y的值要有相关性。关于“相关性”的概念这里先定性说一下,定量分析后续会讲到。

      2)Proxy应该是能明确得出值的,没有二义性。

      这是说Proxy应该对应一个明确数值,是一就是一,是二就是二,不能取“不错”、“挺多”这种值。

      3)Proxy应该在项目开始阶段可以得出或能较精确估计出。

      这个开始阶段最晚不能晚于概要设计,因为估算都是一开始进行,所以Proxy一定要在起始阶段就能得出,否则项目结束了谁还搞估算,实际值都出来了。

      4)Proxy对于不同的实施方案是敏感的。

      就是说当开发方法、开发过程等因素变化时,Proxy应该具有一定的敏感性。

      经过上述分析,我想选用什么作为Proxy大家心里都有点谱了。一般来说,在估算时常被作为Proxy的有需求分析中用例数量、需求分析中功能模块数量、概要设计中实体数量和数据库设计中表的数量。当然,各位也可以根据上述要求选择自己的Proxy。在本文中,我们暂且选择用例数量、实体数量和表数量三个Proxy作为候选。

  选择最合适的Proxy作为x

      这里所谓的“最合适”,在数学上的意义就是和开发时间y的相关性最强。那么什么是相关性呢,从直观意义上,两个变量的相关性是指两个变量关联的紧密程度,数学上可以用相关系数表示。相关系数计算公式如下:

      至于这个公式为什么能反映出两个变量的相关性,可以去参考高等数理统计相关资料,本文不再赘述,只是顺便说一下,r的范围在-1~1之间,绝对值越大代表相关性越强,如果为正值则表示两个变量正相关,否则为负相关。知道了这个,我们这一步骤的目的就是找出候选Proxy中与y相关系数最大的作为x。

      不过,这数据从哪里来呢?这就要从以前做过的项目中提取了。查阅朋友所在团队最近做过的5个项目的数据资料(这里当然历史项目越多越好,不过笔者这个朋友的团队只有5个项目的记录),得到如下数据:

      项目工期(y):     424     267     90     331     160     (人时)

      用例数量(x1):   37       20       6       18       12

      实体数量(x2):   15       9         4       11       14

      数据表数量(x3): 25      18       7       16       18

      下面就是计算各个相关系数了,计算相关系数是一项机械且乏味的活动,一般都会交由相应的工具去完成。不过您要是感兴趣,也可以自己代入上述公式手算。下图是我用Excel计算的结果:

      图1

      一般来说,|r|大于0.7就有很好的相关性了,而从计算结果可以看出,用例数量x1和工期y的相关系数达到0.93,最为优秀,而数据表数量x3也达到0.83,唯有实体数量x2的相关系数仅为0.65,质量较差。因为|r(x2,y)|<0.7,所以这里首先排除掉。

      到了这里似乎我们可以顺利成章选择x1作为最终Proxy,但是还有一点要考虑,就是显著性。所谓显著性就是在偶然情况下得到此结果的概率,如果显著性不足,说明这个结果不可靠。显著性t值的计算公式如下:

      因为n=5,这里自由度为3,然后查询t分布表,得到95%预测区间为3.182。因为一般显著性<0.05则认为显著性较好,所以如果t的值大于3.182,我们则可以接受。不过如果使用工具的话,一般可以用t检测直接得出显著性,这里我用Excel得到r(x1,y)的显著性为0.006,r(x3,y)的显著性为0.007(如图2所示),都远小于0.05,显著性均非常好。所以根据择优录取原则,我们选择x1:需求文档中用例数量作为预测Proxy。

图2

  得到x的值

      在上文中,我们通过相关性和显著性分析,最终决定使用需求文档中的用例数量作为x。下面就是要确定x的值,这个不必多说,直接从需求文档中得到相应的数量即可。

  确定相关函数f

      知道了x的值,下面就是要确定相关函数了。这一步是最艰难也是最有技术性的,因为相关函数不但和数理因素相关,还与开发团队、团队中的人以及管理方法有关。如果人员变动很大或管理方法做了很大的调整,历史数据可能就不具备参考价值了。不过如果团队的开发水平和管理方法没有重大变动,这个函数还是相对稳定的。

      在函数选型上,一般会选择线性函数,当然我个人对此是十分怀疑的,但是这里为了简单起见,我们姑且照例使用线性函数作为预测模型。这样可以建立一元线性回归模型如下:

      这个函数并不是简单的线性函数,而是包含了一个随机变量ε,这是一个服从正态分布的随机变量。上述模型的直观意义可以如下描述:a代表与x即用例数量无关的起始时间,b代表每一个用例所耗费的平均时间,而ε代表开发中的不确定性。在不同的团队中或不同的管理方法下,a,b和ε都是不一样的,但是当团队和管理方法相对稳定,可以认为a,b和ε是可通过历史数据估计的。而因为ε的期望为0,所以只要给出a和b的合理估计,就可以得到y的一个无偏估计。

      下面我们估计a和b的值。估计方法有很多,如曲线拟合法或最小二乘法。这里我们采用最小二乘法进行估计。

      最小二乘法估计的基本原理如下:

      求极值可以使用微积分中的求极值方法,首先令Q(a,b)对a和b分别求偏导,并令偏导为零,得如下方程组:

      经过一系列计算和推导,最终可得到:

      将以前的历史数据代入上述方程,就可以得到a和b的最小二乘估计。同样,这种机械而乏味的计算一般交由工具去完成。我用Excel得到a和b的估计分别为56.251和10.653。Excel分析结果如图3所示:

图3

      根据估计结果,我们可以得出相关函数为y=56.251+10.653。我们还可以证明,这个估计是一致最小方差无偏估计,证明过程从略。

      现在我们不但得到了相关函数,还得到了如下有用的数据结果:这个团队在目前的管理模式下,开发一个项目平均准备时间为56.251人时,而平均每个用例开发耗时为10.653人时。

  得出y

      有了上面的结果,我们可以很轻易得出新项目的计划工时。例如新项目有50个用例,代入可以得到y=56.251+10.653*50=588.901,约为589个人时,再假设团队中有3个开发人员,平均每周工作五天,每天工作8小时,就可以得到项目大约需要开发24.54个人日,开发周期约为5周。

  后面的话

      至此我们已经完成了利用一元线性回归模型对软件工期的估计。但是不得不承认,这个估计方法存在很多缺陷,如估计变量单一以及估计模型过于简单等等。实验证明,这种一元线性模型对中小型项目相对有效,如果团队比较大并且项目十分复杂,估计效果就不理想了。

  不过这篇文章给出了一种思路,就是如何利用数理统计模型以及历史经验数据来估计新项目的工期。对于文中的具体方法则可以进行诸多扩展,例如使用多个估计代理进行多元回归分析、细化估计方法等等。

  例如PSP中就给出一种非常精细的PROBE估计法,有兴趣的朋友可以参考。另外,除了求得估计值,还可以给出估值置信区间,甚至使用蒙特卡洛模拟技术进行更复杂的分析,都可以得到更理想的估值。但是其核心思想与本文是相通的。

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