C#与数据结构--树论--红黑树（Red Black Tree）
介绍
今天我们来介绍另一种平衡二叉树：红黑树（Red Black Tree），红黑树由Rudolf Bayer于1972年发明，当时被称为平衡二叉B树（symmetric binary B-trees），1978年被Leonidas J. Guibas 和 Robert Sedgewick改成一个比较摩登的名字：红黑树。
红黑树和之前所讲的AVL树类似，都是在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡，从而获得较高的查找性能。自从红黑树出来后，AVL树就被放到了博物馆里，据说是红黑树有更好的效率，更高的统计性能。不过在我了解了红黑树的实现原理后，并不相信这是真的，关于这一点我们会在后面进行讨论。
红黑树和AVL树的区别在于它使用颜色来标识结点的高度，它所追求的是局部平衡而不是AVL树中的非常严格的平衡。之前我们在讲解AVL树时，已经领教过AVL树的复杂，但AVL树的复杂比起红黑树来说简直是小巫见大巫。红黑树是真正的变态级数据结构。
首先来一个Silverlight做的红黑树的动画，它有助于帮你理解什么是红黑树。这里需要注意，必须安装Silverlight 2.0 RTW 才能正常运行游戏，下载地址：
http://www.microsoft.com/silverlight/resources/install.aspx?v=2.0
使用注意事项：
l 结点只接收整数，如果在添加和删除操作中输入非法字串，则会随机添加或删除一个0~99之间的整数。
l 可以不在编辑框中输入数字，直接单击添加和删除按钮进行添加和删除操作。
l 可以拖动拖动条控制动画速度。
红黑树的平衡
红黑树首先是一棵二叉查找树，它每个结点都被标上了颜色（红色或黑色），红黑树满足以下5个性质：
1、 每个结点的颜色只能是红色或黑色。
2、 根结点是黑色的。
3、 每个叶子结点都带有两个空的黑色结点（被称为黑哨兵），如果一个结点n的只有一个左孩子，那么n的右孩子是一个黑哨兵；如果结点n只有一个右孩子，那么n的左孩子是一个黑哨兵。
4、 如果一个结点是红的，则它的两个儿子都是黑的。也就是说在一条路径上不能出现相邻的两个红色结点。
5、 对于每个结点来说，从该结点到其子孙叶结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。
红黑树的这5个性质中，第3点是比较难理解的，但它却非常有必要。我们看图1中的左边这张图，如果不使用黑哨兵，它完全满足红黑树性质，结点50到两个叶结点8和叶结点82路径上的黑色结点数都为2个。但如果加入黑哨兵后（如图1右图中的小黑圆点），叶结点的个数变为8个黑哨兵，根结点50到这8个叶结点路径上的黑高度就不一样了，所以它并不是一棵红黑树。
要看真正的红黑树请在以上动画中添加几个结点，看看是否满足以上性质。
红黑树的旋转操作
红黑树的旋转操作和AVL树一样，分为LL、RR、LR、RL四种旋转类型，差别在于旋转完成后改变的是结点的颜色，而不是平衡因子。旋转动画演示请参考AVL这篇文章中的Flash动画：
http://www.cnblogs.com/abatei/archive/2008/11/17/1335031.html
红黑树上结点的插入
在讨论红黑树的插入操作之前必须要明白，任何一个即将插入的新结点的初始颜色都为红色。这一点很容易理解，因为插入黑点会增加某条路径上黑结点的数目，从而导致整棵树黑高度的不平衡。但如果新结点父结点为红色时（如图2所示），将会违返红黑树性质：一条路径上不能出现相邻的两个红色结点。这时就需要通过一系列操作来使红黑树保持平衡。
为了清楚地表示插入操作以下在结点中使用“新”字表示一个新插入的结点；使用“父”字表示新插入点的父结点；使用“叔”字表示“父”结点的兄弟结点；使用“祖”字表示“父”结点的父结点。插入操作分为以下几种情况：
1、黑父
如图3所示，如果新点的父结点为黑色结点，那么插入一个红点将不会影响红黑树的平衡，此时插入操作完成。红黑树比AVL树优秀的地方之一在于黑父的情况比较常见，从而使红黑树需要旋转的几率相对AVL树来说会少一些。
2．红父
如果新点的父结点为红色，这时就需要进行一系列操作以保证整棵树红黑性质。如图3所示，由于父结点为红色，此时可以判定，祖父结点必定为黑色。这时需要根据叔父结点的颜色来决定做什么样的操作。青色结点表示颜色未知。由于有可能需要根结点到新点的路径上进行多次旋转操作，而每次进行不平衡判断的起始点（我们可将其视为新点）都不一样。所以我们在此使用一个蓝色箭头指向这个起始点，并称之为判定点。
2.1 红叔
当叔父结点为红色时，如图4所示，无需进行旋转操作，只要将父和叔结点变为黑色，将祖父结点变为红色即可。但由于祖父结点的父结点有可能为红色，从而违反红黑树性质。此时必须将祖父结点作为新的判定点继续向上进行平衡操作。
需要注意，无论“父”在“叔”的左边还是右边，无论“新”是“父”的左孩子还是右孩子，它们的操作都完全一样。
2.2 黑叔
当叔父结点为黑色时，需要进行旋转，以下图示了所有的旋转可能
情形1：
情形2：
情形3：
情形4：
可以观察到，当旋转完成后，新的旋转根全部为黑色，此时不需要再向上回溯进行平衡操作，插入操作完成。需要注意，上面四张图的“叔”、“1”、“2”、“3”结点有可能为黑哨兵结点。
其实红黑树的插入操作不是很难，甚至比AVL树的插入操作还更简单些。但删除操作就远远比AVL树复杂得多，下面就介绍红黑树的删除操作。
红黑树上结点的删除
红黑树本身是一棵二叉查找树，它的删除和二叉查找树的删除类似。首先要找到真正的删除点，当被删除结点n存在左右孩子时，真正的删除点应该是n的中序遍在前驱，关于这一点请复习二叉查找树的删除。如图9所示，当删除结点20时，实际被删除的结点应该为18，结点20的数据变为18。
所以可以推断出，在进行删除操作时，真正的删除点必定是只有一个孩子或没有孩子的结点。而根据红黑树的性质可以得出以下两个结论：
1、 删除操作中真正被删除的必定是只有一个红色孩子或没有孩子的结点。
2、 如果真正的删除点是一个红色结点，那么它必定是一个叶子结点。
理解这两点非常重要，如图10所示，除了情况(a)外，其他任一种况结点N都无法满足红黑树性质。
在以下讨论中，我们使用蓝色箭头表示真正的删除点，它也是旋转操作过程中的第一个判定点；真正的删除点使用“旧”标注，旧点所在位置将被它的的孩子结点所取代（最多只有一个孩子），我们使用“新”表示旧点的孩子结点。删除操作可分为以下几种情形：
1、旧点为红色结点
若旧点为红色结点，则它必定是叶子结点，直接删除即可。如图11所示
2、一红一黑
当旧点为黑色结点，新点为红色结点时，将新点取代旧点位置后，将新点染成红色即可（如图12所示）。这里需要注意：旧点为红色，新点为黑色的情况不可能存在。
3、双黑
当旧点和新点都为黑色时（新点为空结点时，亦属于这种情况），情况比较复杂，需要根据旧点兄弟结点的颜色来决定进行什么样的操作。我们使用“兄”来表示旧点的兄弟结点。这里可分为红兄和黑兄两种情况：
3.1 红兄
由于兄弟结点为红色，所以父结点必定为黑色，而旧点被删除后，新点取代了它的位置。下图演示了两种可能的情况：
红兄的情况需要进行RR或LL型旋转，然后将父结点染成红色，兄结点染成黑色。然后重新以新点为判定点进行平衡操作。我们可以观察到，旋转操作完成后，判定点没有向上回溯，而是降低了一层，此时变成了黑兄的情况。
3.2 黑兄
黑兄的情况最为复杂，需要根据黑兄孩子结点（这里用“侄”表示）和父亲结点的颜色来决定做什么样的操作。
3.2.1 黑兄二黑侄红父
如图14所示，这种情况比较简单，只需将父结点变为黑色，兄结点变为黑色，新结点变为黑色即可，删除操作到此结束。
3.2.2 黑兄二黑侄黑父
如图15所示，此时将父结点染成新结点的颜色，新结点染成黑色，兄结点染成黑色即可。当新结点为红色时，父结点被染成红色，此时需要以父结点为判定点继续向上进行平衡操作。
3.2.3 黑兄红侄
黑兄红侄有以下四种情形，下面分别进行图示：
情形1：
情形2：
情形3：
情形4：
由以上图例所示，看完以上四张图的兄弟有可能会有一个疑问，如果情形1和情形2中的两个侄子结点都为红色时，是该进行LL旋转还是进行LR旋转呢？答案是进行LL旋转。情形3和情形4则是优先进行RR旋转的判定。
红黑树的代码实现
本以为红黑树的代码非常容易，因为System.Collections.Generic.SortedDictionary类就是使用红黑树实现的，把代码的算法部分抠出来就搞定了。但看了SortedDictionary源码后有些失望，C#中真正实现红黑树的是TreeSet类，SortedDictionary只是在TreeSet的基础上进一步抽象，加上了Key/Value泛型对。TreeSet使用了一种新的红黑树算法，它在搜索插入点和删除点时预先进行旋转和染色操作，从而避免插入和删除后的回溯。这种算法看上去很美，但仔细想想，如果插入的是一个已经存在的结点，删除的结点并不存在，那这些预平衡处理不是白做了吗？更可怕的是如果在一条路径上间隔进行一次插入和一次删除，而这些操作没有命中目标，那么大家就会看到结点的颜色变来变去，这些都是无用功。来看看在寻找插入和删除点的路径上TreeSet每前进一步都要做些什么：给四个变量赋值；判断每个结点的两个孩子结点的颜色。这种算法在《java数据结构和算法》这本书中有详细讲述，不过只讲解了插入算法。另外国内也专门有一篇论文描述这个算法，他的测试结果是这种算法优于其他算法，估计测试时没有不命中目标的情况发生。总之我并不相信这是一个好的算法。
为了证实我的想法，我不得不自己实现红黑树，实现思路跟AVL树很类似，也是使用一个数组保存访问路径以进行回溯，当然，考虑到红黑树不严格的平衡，数组的长度设为64，这并不会给性能带来什么影响。过程很艰辛，需要做大量测试。很不幸，写完后继续做红黑树的Silverlight动画时不小心把原来的代码给覆盖掉了，结点删除部分的代码丢失。当时几乎崩溃，不过重写并没有我想象的那么困难，很快完成，感觉思路清晰了很多，实现比原来也有了改进，感谢上帝！
下面把代码贴出来，如果理解了上面所讲内容是很容易读懂这些代码的。
namespace PaintBST
{
public class RBTree : IBinaryTree //实现画树接口
{ //成员变量
private Node _head; //头指针
private Node[] path = new Node[32]; //记录访问路径上的结点
private int p; //表示当前访问到的结点在_path上的索引
INode IBinaryTree.Head //显式接口实现
{
get { return (INode)_head; }
}
public bool Add(int value) //添加一个元素
{ //如果是空树，则新结点成为二叉排序树的根
if (_head == null)
{
_head = new Node(value);
_head.IsRed = false;
return true;
}
p = 0;
//parent为上一次访问的结点，current为当前访问结点
Node parent = null, current = _head;
while (current != null)
{
path[p++] = current; //将路径上的结点插入数组
//如果插入值已存在，则插入失败
if (current.Data == value)
{
return false;
}
parent = current;
//当插入值小于当前结点，则继续访问左子树，否则访问右子树
current = (value < parent.Data) ? parent.Left : parent.Right;
}
current = new Node(value); //创建新结点
current.IsRed = true;
if (value < parent.Data) //如果插入值小于双亲结点的值
{
parent.Left = current; //成为左孩子
}
else //如果插入值大于双亲结点的值
{
parent.Right = current; //成为右孩子
}
if (!parent.IsRed)
{
return true;
}
path[p] = current;
//回溯并旋转
while ((p -= 2) >= 0) //现在p指向插入点的祖父结点
{
Node grandParent = path[p];
parent = path[p + 1];
if (!parent.IsRed)
{
break;
}
Node uncle = grandParent.Left == parent ? grandParent.Right : grandParent.Left;
current = path[p + 2];
if (IsRed(uncle)) //叔父存在并且为红色的情况
{
parent.IsRed = false;
uncle.IsRed = false;
if (p > 0) //如果祖父不是根结点，则将其染成红色
{
grandParent.IsRed = true;
}
}
else //叔父不存在或为黑的情况需要旋转
{
Node newRoot;
if (grandParent.Left == parent) //如果当前结点及父结点同为左孩子或右孩子
{
newRoot = (parent.Left == current) ? LL(grandParent) : LR(grandParent);
}
else
{
newRoot = (parent.Right == current) ? RR(grandParent) : RL(grandParent);
}
grandParent.IsRed = true; //祖父染成红色
newRoot.IsRed = false; //新根染成黑色
//将新根同曾祖父连接
ReplaceChildOfNodeOrRoot((p > 0) ? path[p - 1] : null, grandParent, newRoot);
return true; //旋转后不需要继续回溯，添加成功，直接退出
}
}
return true;
}
//旋转根旋转后换新根
private void ReplaceChildOfNodeOrRoot(Node parent, Node child, Node newChild)
{
if (parent != null)
{
if (parent.Left == child)
{
parent.Left = newChild;
}
else
{
parent.Right = newChild;
}
}
else
{
_head = newChild;
}
}
private static bool IsBlack(Node node)
{
return ((node != null) && !node.IsRed);
}
private static bool IsNullOrBlack(Node node)
{
if (node != null)
{
return !node.IsRed;
}
return true;
}
private static bool IsRed(Node node)
{
return ((node != null) && node.IsRed);
}
//删除指定值
public bool Remove(int value)
{
p = -1;
//parent表示双亲结点，node表示当前结点
Node node = _head;
//寻找指定值所在的结点
while (node != null)
{
path[++p] = node;
//如果找到，则调用RemoveNode方法删除结点
if (value == node.Data)
{
RemoveNode(node);//现在p指向被删除结点
return true; //返回true表示删除成功
}
if (value < node.Data)
{ //如果删除值小于当前结点，则向左子树继续寻找
node = node.Left;
}
else
{ //如果删除值大于当前结点，则向右子树继续寻找
node = node.Right;
}
}
return false; //返回false表示删除失败
}
//删除指定结点
private void RemoveNode(Node node)
{
Node tmp = null; //tmp最终指向实际被删除的结点
//当被删除结点存在左右子树时
if (node.Left != null && node.Right != null)
{
tmp = node.Left; //获取左子树
path[++p] = tmp;
while (tmp.Right != null) //获取node的中序遍历前驱结点，并存放于tmp中
{ //找到左子树中的最右下结点
tmp = tmp.Right;
path[++p] = tmp;
}
//用中序遍历前驱结点的值代替被删除结点的值
node.Data = tmp.Data;
}
else
{
tmp = node;
}
//当只有左子树或右子树或为叶子结点时
//首先找到惟一的孩子结点
Node newTmp = tmp.Left;
if (newTmp == null) //如果只有右孩子或没孩子
{
newTmp = tmp.Right;
}
if (p > 0)
{
Node parent = path[p - 1];
if (parent.Left == tmp)
{ //如果被删结点是左孩子
parent.Left = newTmp;
}
else
{ //如果被删结点是右孩子
parent.Right = newTmp;
}
if (!tmp.IsRed && IsRed(newTmp))
{
newTmp.IsRed = false;
return;
}
}
else //当删除的是根结点时
{
_head = newTmp;
if (_head != null)
{
_head.IsRed = false;
}
return;
}
path[p] = newTmp;
//如果被删除的是红色结点，则它必定是叶子结点，删除成功，返回
if (IsRed(tmp))
{
return;
}
//删除完后进行旋转，现在p指向实际被删除的位置,这个位置可能为空,tmp指向被删除的旧点，
while (p > 0)
{ //剩下的是双黑的情况
//首先找到兄弟结点
Node current = path[p];
Node parent = path[p - 1];
bool currentIsLeft = (parent.Left == current);
Node sibling = currentIsLeft ? parent.Right : parent.Left;
//红兄的情况，需要LL旋转或RR旋转
if (IsRed(sibling))
{
Node newRoot;
if (currentIsLeft)
{
newRoot = RR(parent);
}
else
{
newRoot = LL(parent);
}
ReplaceChildOfNodeOrRoot(p > 1 ? path[p - 2] : null, parent, newRoot);
sibling.IsRed = false;
parent.IsRed = true;
//回溯点降低
path[p - 1] = newRoot;
path[p] = parent;
path[++p] = current;
}
else //黑兄的情况
{
//黑兄二黑侄
if (IsNullOrBlack(sibling.Left) && IsNullOrBlack(sibling.Right))
{ //红父的情况
if (parent.IsRed)
{
parent.IsRed = false;
sibling.IsRed = true;
if (current != null)
{
current.IsRed = false;
}
break; //删除成功
}
else //黑父的情况
{
parent.IsRed = IsRed(current);
if (current != null)
{
current.IsRed = false;
}
sibling.IsRed = true;
p--; //需要继续回溯
}
}
else //黑兄红侄
{
Node newRoot;
if (currentIsLeft) //兄弟在右边
{
if (IsRed(sibling.Right)) //红侄在右边
{ //RR型旋转
newRoot = RR(parent);
sibling.Right.IsRed = false;
}
else
{ //RL型旋转
newRoot = RL(parent);
}
}
else //兄弟在左边
{
if (IsRed(sibling.Left))
{ //LL型旋转
newRoot = LL(parent);
sibling.Left.IsRed = false;
}
else
{ //LR型旋转
newRoot = LR(parent);
}
}
if (current != null)
{
current.IsRed = false;
}
newRoot.IsRed = parent.IsRed;
parent.IsRed = false;
ReplaceChildOfNodeOrRoot(p > 1 ? path[p - 2] : null, parent, newRoot);
break; //不需要回溯，删除成功
}
}
}
}
//root为旋转根，rootPrev为旋转根双亲结点
private Node LL(Node root) //LL型旋转，返回旋转后的新子树根
{
Node left = root.Left;
root.Left = left.Right;
left.Right = root;
return left;
}
private Node LR(Node root) //LR型旋转，返回旋转后的新子树根
{
Node left = root.Left;
Node right = left.Right;
root.Left = right.Right;
right.Right = root;
left.Right = right.Left;
right.Left = left;
return right;
}
private Node RR(Node root) //RR型旋转，返回旋转后的新子树根
{
Node right = root.Right;
root.Right = right.Left;
right.Left = root;
return right;
}
private Node RL(Node root) //RL型旋转，返回旋转后的新子树根
{
Node right = root.Right;
Node left = right.Left;
root.Right = left.Left;
left.Left = root;
right.Left = left.Right;
left.Right = right;
return left;
}
}
}
完成红黑树后，做了一个比较粗糙的测试程序，对我自己实现的红黑树RBTree，C#类库中的红黑树TreeSet和我自己实现的AVL树AVLTree进行了简单的测试，为了公平起见，我把TreeSet改成了整型版，这样大家都站在了同一起跑线上。考虑到垃圾回收，这样的测试并不是很精确、科学，但也能说明一些问题。以后我会专门写程序对各种常见的查找数据结构进行测试
|
测试项目 |
RBTree |
TreeSet |
AVLTree |
|
200000个整数顺序插入(全部命中) |
0.4375 |
0.4844 |
0.3437 |
|
200000个整数顺序插入后顺序删除(全部命中，只对删除部分计时) |
0.25 |
0.5 |
0.20 |
|
200000个整数随机插入(全部命中) |
0.4375 |
0.5469 |
0.5 |
|
200000个整数随机插入后顺序删除(全部命中，只对删除部分计时) |
0.5 |
0.7343 |
0.4219 |
|
200000个整数顺序插入(一半命中) |
0.297 |
0.344 |
0.234 |
|
100000个整数随机插入后顺序删除(一半命中，只对删除部分计时) |
0.094 |
0.203 |
0.109 |
后记
测试结果基本证实了我的想法，惟一意外的是AVL树有两个项目输给了RBTree。在理论上，RBTree在某些方面的确是比AVL树更为优秀，但从程序员的角度来说，红黑树的实现需要调用大量方法，比如结点颜色的判断，这会抵消红黑树的性能优势。国外网站也有针对红黑树和AVL树的测试，结果基本上是AVL树胜出。
红黑树的动画还有一些bug，整体效果也不尽如人意，我也懒得再改了，写它比写红黑树困难些。写它主要是为了学习Silverlight，这也算是第一个Silverlight动画作品，东西弄懂了就不想再动了。打算将来更深入地了解Silverlight后再全面修改这个动画。
